1=0.999...?

04 Sep, 2026

前天在班上討論一個問題：「 $1=0.999...$ 嗎？」

我知道對有些人來說，討論數學問題就好像是掉進深淵一般，因為不會就是不會。

認真討論

不過如果認真要討論，問題的答案可能有兩種：

1. $1＞0.999...$

因為 $1－0.9＝0.1$ 、 $1－0.99＝0.01$ 、 $1－0.999＝0.001$ ，所以 $1－0.999...＝0.000..\mathrm{.1}$ 。

用 1 減 0.999... 總會有剩下的，所以 1 ＞ 0.999...

2. $1＝0.999...$

假設 $x＝0.999...$——(1)¹

將(1)式乘以 10 倍，得到(2)式：

$10x=9.999...$——(2)¹

將兩式相減，得到$9x=9$，$x=1$

問題是...

第一個方法看似可行，實際上 0.000...1 早已化為 0，看看這個：

用 Google 計算機分別算$1－0.9$、$1－0.99$、$1－0.999$…的數值可以發現：

$1－0.9$一直到$1－0.999999$都會出現 0.000...1的數字，

而$1－0.9999999$到$1－0.9999999999999999$則出現科學記號，

從$1－0.99999999999999999$開始，計算結果即為 0 。

所以我們應該可以知道：$1＝0.999...$²